Question

已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線與AD相交于點P，下列說法中正確的是（　　）
①△APB是等腰三角形；②∠ABP+∠BPD=180°；③PD+CD=BC；④S_△APB=S_梯形PDCB．

• A、①②④
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出CB=AD，AB=DC，AD∥BC，求出∠APB=∠ABP，推出AB=AP，即可判斷①；根據(jù)∠ABP+∠BPD=180°，∠ABP=∠APB即可判斷②；求出AP=AB=CD，AD=BC，即可推出③；根據(jù)梯形和三角形面積公式即可判斷④．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CB=AD，AB=DC，AD∥BC，
∴∠CBP=∠APB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠APB=∠ABP，
∴AB=AP，∴①正確；
∵∠ABP+∠BPD=180°，∠ABP=∠APB，
∴∠ABP+∠BPD=180°，∴②正確；
∵AP=AB=CD，AD=BC，AP+DP=AD，
∴PD+CD=BC，∴③正確；
設(shè)AD和BC之間的距離是h，
則S_△APB=

1

2

AP•h，S_梯形PDCB=

1

2

（PD+BC）•H，
∵BC=AD=AP+DP，
∴S_△APB≠S_梯形PDCB，∴④錯誤；
故選B．

點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，面積公式的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度．