【題目】如圖,在中,,,為外一點(diǎn),將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,且點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上.
(1)(觀察猜想)
在圖①中, ;在圖②中, (用含的代數(shù)式表示)
(2)(類比探究)
如圖③,若,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),探究線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)(問(wèn)題解決)
若,,,求點(diǎn)到的距離.
【答案】(1);;(2),證明見(jiàn)解析;(3)點(diǎn)到的距離為或.
【解析】
(1)在圖①中由旋轉(zhuǎn)可知,由三角形內(nèi)角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,因?yàn)?/span>,∠OAP+∠PAB=∠OAB,所以∠APB=∠AOB=α;在圖②中,由旋轉(zhuǎn)可知,得到∠OBP+OAP=180°,通過(guò)四邊形OAPB的內(nèi)角和為360°,可以得到∠AOB+∠APB=180°,因此∠APB=;
(2)由旋轉(zhuǎn)可知≌,,,,因?yàn)?/span>,得到,即可得證;
(3)當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由條件可求得PA,再由可求出OH;當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),同理可求出OH.
(1)①由三角形內(nèi)角和為180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,
由旋轉(zhuǎn)可知,
又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB,
∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°,即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°,
∴∠APB=∠AOB=α;
②由旋轉(zhuǎn)可知,
∵=180°,
∴∠OBP+OAP=180°,
又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°,
∴∠AOB+∠APB=180°,
∴∠APB=;
(2)
證明:由繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到
∴≌,,,,
又∵,
∴
∴
(3)【解法1】
(i)如圖,當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
由(1)知,,
∵
∴
由(2)知,
∴
(ii)如圖,當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
由(1)知, ,
∵
∴
∴
∴點(diǎn)到的距離為或.
【解法2】
(i)如圖,當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí) ,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
∵,,
∴,
∵,取的中點(diǎn)
∴
∴點(diǎn),,,四點(diǎn)在圓上
∴,且
∴
∴
∵,,
∴
在中,,設(shè),則
∴,化簡(jiǎn)得:
∴,(不合題意,舍去)
∴
(ii)若點(diǎn)在的下方,過(guò)點(diǎn)作,
同理可得:
∴點(diǎn)到的距離為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)過(guò)點(diǎn)C的直線y交x軸于點(diǎn)H,若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在對(duì)稱軸的右側(cè),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線CH于點(diǎn)Q,作PN∥x軸交對(duì)稱軸于點(diǎn)N,以PQ、PN為鄰邊作矩形PQMN,當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí),在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)K,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)T,一動(dòng)點(diǎn)G從線段CP的中點(diǎn)R出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿R→K→T的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T,再沿線段TB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng),求動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間及此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo);
(3)如圖2,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A'BC'的位置,點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、C',且點(diǎn)C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上,連接AC'.點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE、C'E,將△AC'E沿直線C'E翻折為△A″C'E,是否存在點(diǎn)A',使得△BAA″為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解中考體育科目訓(xùn)練情況,某縣從全縣九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了一次中考體育科目測(cè)試(把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí):級(jí):優(yōu)秀;級(jí):良好;級(jí):及格;級(jí):不及格),并將測(cè)試結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)圖1中的度數(shù)是 ,并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該縣九年級(jí)有學(xué)生4500名,如果全部參加這次中考體育科目測(cè)試,請(qǐng)估計(jì)不及格的人數(shù)為 .
(4)老師想從4位同學(xué)(分別記為、、、,其中為小明)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)了解平時(shí)訓(xùn)練情況,請(qǐng)用列表或畫樹(shù)形圖的方法求出選中小明的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABCD的頂點(diǎn)B,C在x軸上,A,D兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=﹣(x<0)與y=(x>0)的圖象上,若ABCD的面積為4,則k的值為:_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某物體由上下兩個(gè)圓錐組成,其軸截面中,,.若下部圓錐的側(cè)面積為1,則上部圓錐的側(cè)面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,P是BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作AP的垂線交CD于E,將翻折得到,延長(zhǎng)FP交AB于H,連結(jié)AE,PE交AC于G.
(1)求證;
(2)當(dāng)時(shí),求AE的長(zhǎng);
(3)當(dāng)時(shí),求AG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,且,連接,,過(guò)點(diǎn)作,分別交,于點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的邊上一動(dòng)點(diǎn),矩形兩邊長(zhǎng)AB、BC長(zhǎng)分別為15和20,那么P到矩形兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是( 。
A.6B.12C.24D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線如圖所示.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)…若依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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