Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點．
（1）求證：AO²=AE•AD；
（2）若AO=4cm，AD=5cm，求⊙O的面積．

Answer 1

考點：切線長定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及切線長定理得出∠AOD=90°，進而得出△AOE∽△ADO，進而得出答案；
（2）利用三角形面積公式以及圓的面積公式求出即可．

解答：（1）證明：根據(jù)切線長定理可知：
∵∠OAE+∠ODA=

1

2

（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=90°，
∵∠OAE=∠OAE，∠AOD=∠AEO=90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴

AE

OA

=

OA

AD

，
即AO²=AE•AD；

（2）解：在Rt△AOD中，
OD=

AD2-AO2

=3，
∵S_△AOD=

1

2

×AD×EO=

1

2

×AO×OD
即5×EO=4×3，
∴EO=

12

5

，
∵OE是⊙O的半徑，
∴S_圓O=πr²=

144

25

π．

點評：此題主要考查了切線長定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出EO的長是解題關鍵．