Question

已知，邊長為a（cm）的正方形ABCD，現(xiàn)有∠MDN=45°，其兩邊分別與CB、AB交與點(diǎn)M、N，連接MN，將∠MDN繞著頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使得M、N始終在邊CB和邊AB上，試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發(fā)生變化，若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：在這一過程中，△BMN的周長不發(fā)生變化，理由為：延長BC到E使CE=AN，連接DE，由四邊形ABCD為正方形，得到一對邊相等，一對角為直角，利用SAS得到三角形DCE與三角形DAN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DA=DN，∠CDE=∠ADN，根據(jù)∠MDN=45°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EMD與三角形NMD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到ME=MN，再利用等式的性質(zhì)變形即可得到三角形BMN周長為定值2a．

解答：解：在這一過程中，△BMN的周長不發(fā)生變化，
證明：延長BC到E使CE=AN，連接DE，
∵ABCD為正方形，
∴DC=DA，∠A=∠BCD=90°，
在△DCE和△DAN中，

EC=NA ∠DCE=∠DAN=90° CD=DA

，
∴△DCE≌△DAN（SAS），
∴DA=DN，∠CDE=∠ADN，
∵∠MDN=45°，
∴∠ADN+∠CDM=∠CDE+∠CDM=∠MDE=45°=∠MDN，
在△EDM和△NDM中，

DE=DN ∠EDM=∠NDM DM=DM

，
∴△EDM≌△NDM（SAS），
∴ME=MN，即ME=CE+CM=AN+CM=MN，
則△BMN的周長l=BM+MN+BN=BM+（CM+AN）+BN=BC+AB=2a．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．