Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A（-1，0）．過點A作直線y=x+c與拋物線交于點D，動點P在直線y=x+c上，從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向點D運動，過點P作直線PQ∥y軸，與拋物線交于點Q，設運動時間為t（s）.

（1）直接寫出b，c的值及點D的坐標；

（2）點 E是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△CBE的面積為6時，求出點E 的坐標；

（3）在線段PQ最長的條件下，點M在直線PQ上運動，點N在x軸上運動，當以點D、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請求出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)

【解析】

（1）將點A分別代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，確定解析式，再解兩個函數(shù)關系式組成的方程組即可得到點D的坐標；

（2））過點E作EF⊥y軸，設E（x，-x2+2x+3），先求出點B、C的坐標，再利用面積加減關系表示出△CBE的面積，即可求出點E的坐標.

（3）分別以點D、M、N為直角頂點討論△MND是等腰直角三角形時點N的坐標．

（1）將A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，

∴y=-x2+2x+3，

將點A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，

∴y=x+1，

解，解得，（舍去），

∴D（2,3）.

∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.

（2）過點E作EF⊥y軸，

設E（x，-x2+2x+3）,

當y=-x2+2x+3中y=0時，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），

∴B(3，0).

∵C(0，3)，

∴，

∴，

解得x1=4,x2=-1（舍去），

∴E(4，-5).

（3）∵A(-1，0),D(2，3),

∴直線AD的解析式為y=x+1,

設P（m，m+1），則Q（m，-m2+2m+3），

∴線段PQ的長度h=-m2+2m+3-（m+1）=，

∴當=0.5，線段PQ有最大值.

當∠D是直角時，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；

當∠M是直角時，如圖1，點M在線段DN的垂直平分線上，此時N1（2,0）；

當∠M是直角時，如圖2，作DE⊥x軸，M2E⊥HE，N2H⊥HE,

∴∠H=∠E=90,

∵△M2N2D是等腰直角三角形，

∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,

∵∠N2M2H=∠M2DE,

∴△N2M2H≌△M2DE,

∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，

∴E(2，-1.5)，

∴M2H=DE=3+1.5=4.5，

∴ON2=4.5-0.5=4，

∴N2(-4，0)；

當∠N是直角時，如圖3，作DE⊥x軸，

∴∠N3HM3=∠DEN3=90,

∵△M3N3D是等腰直角三角形，

∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，

∵∠DN3E=∠N3M3H，

∴△DN3E≌△N3M3H，

∴N3H=DE=3，

∴N3O=3-0.5=2.5，

∴N3(-2.5，0)；

當∠N是直角時，如圖4，作DE⊥x軸，

∴∠N4HM4=∠DEN4=90,

∵△M4N4D是等腰直角三角形，

∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，

∵∠DN4E=∠N4M4H，

∴△DN4E≌△N4M4H，

∴N4H=DE=3，

∴N4O=3+0.5=3.5，

∴N4(3.5，0)；

綜上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).