Question

如圖（1），長方形紙片ABCD的邊長AB=2AD，將它沿EF折疊（點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP，設(shè)，其中0＜n＜1．
（1）當(dāng)n=，即M為AD的中點時，如圖（2），求證：EP=AE+DP；
（2）隨著n的變化，的值是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先延長PM交BA延長線于點G，易證得△GAM≌△PDM，即可得AG=DP，GM=PM，又由線段垂直平分線的性質(zhì)，可得EG=EP，則可證得EP=AE+DP；
（2）首先連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，可證得△ABM∽△KFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得=，即的值不變．
解答：（1）證明：延長PM交BA延長線于點G，
則∠PMD=∠GMA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，
∴∠GAM=∠D=90°，
∵M為AD的中點，
∴AM=MD，
∵在△GAM和△PDM中，
，
∴△GAM≌△PDM（ASA），
∴AG=DP，GM=PM，
由折疊的性質(zhì)可得：∠EMN=∠B=90°，
∴EM⊥MP，
∴EG=EP，
∵EG=AE+AG=AE+DP，
∴EP=AE+DP；

（2）的值不變．
理由：連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，
∴EF⊥MB，
即∠FQO=90°，
∵四邊形FKBC是矩形，
∴KF=BC，F(xiàn)C=KB，
∵∠FKB=90°，
∴∠KBO+∠KOB=90°，
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，
∴∠KBO=∠OFQ，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABM∽△KFE，
∴，
即，
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，
∴=，
∴的值不變．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．