Question

【題目】如圖，四邊形 是正方形， 是 垂直平分線上的點，點 關于 的對稱點是 ，直線 與直線 交于點 .

（1）若點 是 邊的中點，連接 ，則 ＝；
（2）小明從老師那里了解到，只要點 不在正方形的中心，則直線 與 所夾銳角不變．他嘗試改變點 的位置，計算相應角度，驗證老師的說法．

如圖，將點 選在正方形內，且△ 為等邊三角形，求出直線 與 所夾銳角的度數(shù)；
（3）請你繼續(xù)研究這個問題，可以延續(xù)小明的想法，也可用其它方法.

我選擇小明的想法；并簡述求直線 與 所夾銳角度數(shù)的思路．

Answer 1

【答案】
（1）45
（2）

解：∵ 是等邊三角形，

∴ ， ．

∵四邊形 是正方形，

∴ ， ， ．

∴ ， ．

∴ ．

∵點 是點 關于 的對稱點，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ≌

∴ ．

∴ ．

∴

（3）

解：如果沿用小明的想法：

方法一：如圖，我將點 選在 邊的中點．

∵四邊形 是正方形，

∴ ， ， ， ．

∵點 是點 關于 的對稱點，

∴ .

∴ .

∴ 在 上.

∴ 在直線 上.

∴ .

∴ ， .

∵ 是 的中點，

∴ ，

∴ ≌ ．

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ 是等腰直角三角形.

∴ .

∴ .

∴直線 與 所夾銳角為 ．

方法二：如圖，我將點 選在正方形外，使 的位置，

連接 ．

∵四邊形 是正方形，

∴ ， ．

∵ 在 的垂直平分線上，

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ， ．

∴ ．

∵點 是點 關于 的對稱點，

∴ ．

∴ ， ， 三點共線.

∴點 與點 重合．

∴ ， ．

∴ ．

∴ ≌ ．

∴ ．

【解析】（1）根據(jù)已知條件畫出圖形即可求得∠ FAD度數(shù).
（2）由等邊三角形的性質得 ∠EBA=∠EAB=60° ， BE=EA=AB ；由正方形性質得 AB=AD ， ∠ABD=45° ， ∠BAD=90° ；等量代換得AE=AD， ； ∠EAD=∠BAD∠BAE=30° ， ∠AED=75° ；由條件證ΔABF ≌ ΔEBF，根據(jù)全等三角形的性質得FA=FE ；∠FAE=∠FEA=75° ；∠FAD=∠FAE∠EAD=45°
（3）點 E 選在正方形外，使 ∠EDC=45° 的位置，連接 CE ．
由正方形性質得， DA=DC ， ∠BDA=∠BDC=45° ；由E垂直平分線得性質得ED=CE ，由等腰三角形的性質得ED⊥BD ；再由已知條件證
ΔADF ≌ ΔCDE ；根據(jù)等腰三角形的性質得 ∠FAD=∠ECD=45° .
【考點精析】掌握等腰直角三角形和等邊三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．