Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，其中．

(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象經(jīng)過軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式；若隨的變化能取得最大值，證明：當(dāng)取得最大值時(shí)，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

(3)已知點(diǎn)和在函數(shù)的圖象上，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）若，則

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解：(1)把點(diǎn)代入中，

解得

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，

．綜合①②得

(2) 與軸交點(diǎn)為，

與軸交點(diǎn)為，

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，

若隨的變化能取得最大值時(shí)，此時(shí)且當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)

令，解得，所以此時(shí)函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)

(3) 的對稱軸為

與對應(yīng)函數(shù)值相等，

又開口向上，

∴若，則

【點(diǎn)晴】

本題是二次函數(shù)的綜合問題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式；解（3）的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．