Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得；最后用x、y表示該比例式中的線段的長度；
（2）根據(jù)∠A=90°得出S_△BDE=•BD•AE，再運用函數(shù)性質(zhì)求解即可．
解答：解：（1）由題可知，BD=2x，AD=8-2x，
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴，
其中0＜x≤4；

（2）∵∠A=90°
∴AE是△BDE中BD邊上的高，
∴
∴S=×2x×（-x+6）
=-（x²-4x+4）+6
=-（x-2）²+6．
∴當(dāng)x=2時，S有最大值，且最大值為6．
點評：本題主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．