Question

已知，Rt△ABC和Rt△BDE，AC=BC，BD=DE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連結(jié)CF、DF．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖①，線段CF和DF有怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（2）將圖①中△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖②，那么（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）將圖①中△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖③，那么線段CF和DF又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得BD與CG的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得FG與EF的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△DEF≌△CGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得 CF=DF，∠EFD=∠GFC，根據(jù)等角的余角相等，可得答案；
（2）根據(jù)平行線的判定，可得AC與DE的關(guān)系，根據(jù)AAS，可得△DEF≌△CGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得DF與GF，DE與AG的關(guān)系，
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得答案；

解答：解：（1）CF=DF，CF⊥DF
證明：圖中的圖①

延長(zhǎng)DE交AC于G，連接FG，
∵∠ACB=∠CBD=∠BDG=90°，
∴四邊形BCGD是矩形
BD=CG
∵BD=DE，
∴DE=CG．
∵∠AGE=90°，AF=EF，
∴FG=

1

2

AE=EF．
∵∠BED=45°，
∴∠DEF=135°，
∵AF=FG
∴∠AGF=∠A=45°．
∴∠CGF=135°
∴∠DEF=∠CGF
在△DEF和△CGF中，

DE=CG ∠DEF=∠CGF EF=FG

∴△DEF≌△CGF （SAS）
∴CF=DF，∠EFD=∠GFC，
∴∠GFE=90°
∴∠GFC+∠CFB=90°
∠EFD+∠CFB=90°
∴CF⊥DF；
（2）成立
延長(zhǎng)DF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖中的圖②

∵∠ACB=90°，∠CDE=90°
∴AC∥DE
∠G=∠EDF
在△DEF和△GAF中，

∠EFD=∠GFA ∠EDF=∠G EF=AF

∴△DEF≌△GAF（AAS）
∴DF=GF，DE=AG
∵BC=AC
∴CD=CG
∵∠GCD=90°，DF=GF
∴CF=DF且CF⊥DF；

（3）CF=DF且CF⊥DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，利用了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等，難度稍大．