Question

如圖，直線AB分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，如果A（2，0），B（0，4）線段CD兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)（C點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)在x軸上），且CD=AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)C點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且△COD和△AOB全等時(shí)，直接寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在經(jīng)過第一、二、三象限的直線CD，使CD⊥AB？如果存在，請(qǐng)求出直線CD的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線解析式為：y=kx+b，把點(diǎn)A（2，0），B（0，4）代入即可求解；
（2）三角形COD和AOB都是直角三角形，因此兩直角邊相等，那么兩三角形就全等了，由此可知，OC，OD的值應(yīng)該和OB，OA的值相等．由于CD可以在不同的象限，因此可分情況進(jìn)行討論；
（3）那么線段CD應(yīng)該在第二象限，只要讓OD=OB，OA=OC，即C（0，2），D（-4，0）時(shí)，CD⊥AB（可通過三角形全等得出角相等，然后根據(jù)相等角的轉(zhuǎn)換得出垂直）．那么根據(jù)這兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可得出函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）設(shè)直線解析式為：y=kx+b，把點(diǎn)A（2，0），B（0，4）代入，解得：k=-2，b=4，
故函數(shù)解析式為：y=-2x+4

（2）由題意，得A（2，0），B（0，4），
即AO=2，OB=4．
①當(dāng)線段CD在第一象限時(shí)，
點(diǎn)C（0，4）（不合題意舍去），D（2，0）或C（0，2）（不合題意舍去），D（4，0）．
②當(dāng)線段CD在第二象限時(shí)，
點(diǎn)C（0，4）（不合題意舍去），D（-2，0）或C（0，2）（不合題意舍去），D（-4，0）．
③當(dāng)線段CD在第三象限時(shí)，
點(diǎn)C（0，-4），D（-2，0）或C（0，-2），D（-4，0）．
④當(dāng)線段CD在第四象限時(shí)，
點(diǎn)C（0，-4），D（2，0）或C（0，-2），D（4，0）．

（3）C（0，2），D（-4，0）．
直線CD的解析式為y=

1

2

x+2．
所以存在經(jīng)過第一、二、三象限的直線CD，使CD⊥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練應(yīng)用全等三角形的判定的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．