Question

如圖，直線AB分別與兩坐標軸交于點A（4，0）、B（0，8），點C的坐標為（2，0）．

（1）求直線AB的解析式；
（2）在線段AB上有一動點P．
①過點P分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點E、F，若矩形OEPF的面積為6，求點P的坐標．
②連接CP，是否存在點P，使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）①可以設(shè)動點P （x，-2x+8），由此得到PE=x，PF=-2x+8，再利用矩形OEPF的面積為6即可求出點P的坐標；
②存在，分兩種情況：第一種由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐標；第二種CP⊥AB，根據(jù)已知條件可以證明APC∽△AOB，
然后利用相似三角形的對應邊成比例即可求出PA，再過點P作PH⊥x軸，垂足為H，由此得到PH∥OB，進一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出點P的坐標．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
依題意，

4k+b=0 b=8

，
∴

k=-2 b=8

，
∴y=-2x+8；

（2）①設(shè)動點P （x，-2x+8），
則PE=x，PF=-2x+8，
∴S_?OEPF=PE•PF=x（-2x+8）=6
∴x₁=1，x₂=3；
經(jīng)檢驗x₁=1，x₂=3都符合題意，
∴點P（1，6）或（3，2）；

②存在，分兩種情況
第一種：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而點C的坐標為（2，0），
∴點P（2，4 ）；

第二種CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴

AP

OA

=

AC

AB

，
∴

AP

4

=

2

42+82

，
∴AP=

2 5

5

，
如圖，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴

PH

OB

=

AP

AB

=

AH

OA

，
∴

PH

8

=

2 5 5

4 5

=

AH

4

，
∴PH=

4

5

，AH=

2

5

，
∴OH=OA-AH=

18

5

，
∴點P（

18

5

，

4

5

）．
∴點P的坐標為（2，4）或點P（

18

5

，

4

5

）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用相似三角形的性質(zhì)與判定與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．