Question

已知如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且AB=2AD．
（1）求證：BD=EF；
（2）試判斷EF與BD的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接DE．
∵AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，
∴AD=AE，
又∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE=BE，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，又∠A=60°，
∴∠ABD=90°-60°=30°，
∴AB=2AD，
∴BD=AD，
∵DF∥AE，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴BD=EF；

（2）解：EF與BD互相垂直平分．理由如下：
連結(jié)BF，如圖，
∵平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF∥BE，DF∥BE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
根據(jù)（1）中的結(jié)論，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，△ABD是直角三角形，
∴AD⊥DB，而E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴DE=BE，
∴四邊形BEDF為菱形，
∴EF與BD互相垂直平分．
分析：（1）由已知不難發(fā)現(xiàn)：EF=AD，故要證明結(jié)論，只需證明△ADB是直角三角形即可．
（2）結(jié)合第（1）小題的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)它們的位置關(guān)系是垂直平分的．
點(diǎn)評：特別注意等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．直角三角形的判定：三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則該三角形是直角三角形．