Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=12cm，DC=16cm，動點(diǎn)P沿A→D→C線路以2cm/秒的速度向C運(yùn)動，動點(diǎn)Q沿B→C線路以1cm/秒的速度向C運(yùn)動．P、Q兩點(diǎn)分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，△PQB的面積為y cm²．
（1）求AD的長及t的取值范圍；
（2）求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在這樣的t，使得△PQB的面積為

9 3

2

．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥BC于E點(diǎn)，如圖所示，把梯形的問題轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形的問題，結(jié)合題目的已知條件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的長度，接著就可以求出點(diǎn)P從出發(fā)到點(diǎn)C和點(diǎn)Q從出發(fā)到點(diǎn)C所需時間，也就求出了t的取值范圍；
（2）首先通過計(jì)算確定P的位置在點(diǎn)P在DC邊上，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，如圖所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行線分線段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用函數(shù)關(guān)系式結(jié)合t的取值范圍把△PQB的面積為

9 3

2

代入函數(shù)的解析式，即可求出t的值．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°過D作DE⊥BC于E點(diǎn)，如圖所示
∴AB∥DE，
∴四邊形ABED為矩形，
∵∠C=60°，DC=16cm，
∴DE=sin60°•16=

3

2

×16=8

3

，
在Rt△DEC中，DE=8

3

cm，DC=16cm
∴EC=8cm，
∴AD=BE=BC-EC=12-8=4cm，
點(diǎn)P從出發(fā)到點(diǎn)C共需

16+4

2

=10（秒），
點(diǎn)Q從出發(fā)到點(diǎn)C共需

12

1

=12秒，
又∵t≥0，
∴0≤t≤10；

（2）當(dāng)0≤t≤2時，
y=

1

2

× 8

3

•BQ=

1

2

× 8

3

×t=4

3

t，
當(dāng)2＜t≤10時，
點(diǎn)P在DC邊上
∴PC=20-2t
過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，如圖所示
∴PM∥DE
∴

PC

DC

=

PM

DE

即

20-2t

16

=

PM

8 3

，
∴PM=10

3

-

3

t，
又∵BQ=t，
∴y=

1

2

BQ•PM
=

1

2

t•（10

3

-

3

t）
=5

3

t-

3

2

t 2；

（3）當(dāng)0≤t≤2時，
由4

3

t=

9 3

2

得t=

9

8

；
當(dāng)2＜t≤10時，
由5

3

t-

3

2

t 2=

9 3

2

得t=9或t=1（舍去）
所以當(dāng)t=

9

8

或t=9時，△PQB的面積為

9 3

2

．

點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理及三角形的面積公式等知識，也以動態(tài)的形式考查了分類討論的思想，函數(shù)的知識，具有很強(qiáng)的綜合性．