Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．
（1）直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）平行于對角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)直線m運(yùn)動的時間為t（秒）．
①若MN=

1

2

AC，求t的值；
②設(shè)△OMN的面積為S，當(dāng)t為何值時，S=

3

2

．

Answer 1

（1）A（4，0），C（0，3）；
（2）①x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，直線m運(yùn)動的時間為t時，
可以分為兩種情況：
當(dāng)M、N分別在OA、OC上時，如下圖所示：

∵直線m平行于對角線AC
∴△OMN∽△OAC
∴

MN

AC

=

OM

OA

=

t

4

=

1

2

∴t=2s；
當(dāng)M、N分別在AB、BC上時，如下圖所示：

∵直線m平行于對角線AC
∴△BMN∽△BAC
∴

MN

AC

=

BM

BA

=

t-4

4

=

1

2

∴t=6
綜上所述，當(dāng)t=2或6時，MN=

1

2

AC
②當(dāng)0＜t≤4時，OM=t，
由△OMN∽△OAC，
得

OM

OA

=

ON

OC

，
∴ON=

3

4

t，S=

3

8

t2=

3

2

∴t=2；
當(dāng)4＜t＜8時，
如圖，∵OD=t，∴AD=t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM=

3

4

（t-4）
∴BM=6-

3

4

t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=

4

3

BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12-

3

2

(t-4)-

1

2

（8-t）（6-

3

4

t）-

3

2

(t-4)
=-

3

8

t2+3t，
∴-

3

8

t2+3t=

3

2

解得t=4±2

3

取t=4+2

3

故當(dāng)t=2或4+2

3

時，△OMN的面積S=

3

2

．