Question

如圖，在直角坐標(biāo)系XOY中，已知兩點(diǎn)O₁（3，0）、B（-3，0），⊙O₁與X軸交于原點(diǎn)0和點(diǎn)A，E是Y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）．
（1）當(dāng)點(diǎn)O₁到直線BE的距離等于3時(shí)，問(wèn)直線BE與圓的位置關(guān)系如何？求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)及直線BE的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在Y軸上移動(dòng)時(shí)，直線BE與⊙O₁有哪幾種位置關(guān)系？直接寫出每種位置關(guān)系時(shí)的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出⊙O1的半徑，判斷出直線BE與⊙O₁的關(guān)系，根據(jù)題意畫(huà)出直線BE，連接O₁M，由利用勾股定理求出BM的長(zhǎng)，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO₁∽R(shí)t△BOE，求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)，用帶定系數(shù)法即可求出直線BE的解析式，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)m＜0時(shí)的直線解析式；
（2）根據(jù)（1）所求出的m的值，分三種情況進(jìn)行討論，即可得出直線BE與⊙O₁的位置關(guān)系．

解答：解：（1）當(dāng)m＞0時(shí)，如圖所示：
由已知得BE是⊙O₁的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，連接O₁M，則O₁M⊥BM，
∴O₁M=3，
∵O₁（3，0）、B（-3，0），
∴BO₁=6，
∴BM=

(BO1)2- (MO   1 )2

=

62-32

=3

3

，
又∵OE⊥BO，
∴Rt△BOE∽R(shí)t△BMO₁，
∴

OE

MO1

=

BO

BM

，即

OE

3

=

3

3 3

，
∴OE=

3

，
∴m=

3

，
∴E（0，

3

）
設(shè)此時(shí)直線BE的解析式是y=kx+m，
將B（-3，0）及E（0，

3

）代入上式，解得

k= 3 3 m= 3

，
∴直線BE的解析式為：y=

3

3

x+

3

，
當(dāng)m＜0時(shí)，E（0，-

3

）
由圓的對(duì)稱性可得：k=-

3

3

，m=-

3

時(shí)，直線BE也與⊙O1相切，
同理可得：y=-

3

3

x-

3

．
（2）當(dāng)m＞

3

或m＜-

3

時(shí)，直線與圓相離，
當(dāng)m=

3

或m=-

3

時(shí)，直線與圓相切，
當(dāng)-

3

m＜

3

時(shí)，直線與圓相交．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在解答（1）時(shí)一定要注意符合條件的直線有兩條，這是此題易忽略的地方．