【題目】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題:
(1)如圖①,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,其中S△ABC=15,BC=6,DE=4,則S四邊形DEFG= ;
探究問(wèn)題:(2)如圖②,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn)且BD=AD=AC=10,∠BAD=40°,請(qǐng)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作△ABC的內(nèi)接三角形DEF(點(diǎn)E、F分別在AB、AC上),求其周長(zhǎng)的最小值;
解決問(wèn)題:(3)小紅同學(xué)參加了物理課外興趣小組.圖③是其制作的一個(gè)光電感應(yīng)裝置在某時(shí)刻的平面情景圖,在邊長(zhǎng)為20厘米的正方形ABCD中,P為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P位置是一個(gè)激光發(fā)射器,可以左右來(lái)回180°轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)在正方形ABCD內(nèi)發(fā)出兩條互相垂直的藍(lán)色光線PE、PF,E、F是落在AD、DC、CB三邊上的兩個(gè)光點(diǎn),E、F、P三點(diǎn)會(huì)在正方形ABCD內(nèi)自動(dòng)感應(yīng)出一個(gè)發(fā)光△PEF,請(qǐng)問(wèn)在激光器轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)射的過(guò)程中,形成的△PEF面積有無(wú)最大值,如果有,請(qǐng)求出;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)30;(3)有,125cm2
【解析】
(1)如圖①中,作AH⊥BC于H,交DE于T.利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
(2)如圖②中,作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′,作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D″,連接D′D″交AB于E,交AC于F,連接DE,DF,此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最。C明△AD′D″是頂角為120°的等腰三角形即可解決問(wèn)題.
(3)分三種情形:如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上,點(diǎn)F在線段CD上時(shí).如圖④中,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上,點(diǎn)F在線段BC上時(shí).當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上,點(diǎn)F在線段BC上時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),分別求解即可解決問(wèn)題.
(1)如圖①中,作AH⊥BC于H,交DE于T.
∵S△ABC=BCAH=15,BC=6,
∴AH=5,
∵四邊形DEFG是矩形,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴AT=,
∴TH=AH﹣AT=5﹣=,
∴矩形DEFG的面積=DETH=4×=.
故答案為.
(2)如圖②中,作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′,作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D″,連接D′D″交AB于E,交AC于F,連接DE,DF,此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最。
∵AD=DB=AC,
∴∠DAB=∠B=40°,
∴∠ADC=∠C=∠B+∠DAB=80°,
∴∠DAC=180°﹣80°﹣80°=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°,
∵AD=AD′=AD″=10,∠BAD=∠BAD′,∠CAD=∠CAD″,
∴∠D′AD″=2∠BAC=120°,
作AH⊥D′D″,
∵AD′=AD″,
∴D′H=HD″,∠D′AH=∠D′AD″=60°,
∴D′H=AD′sin60°=10×=15,
∴D′D″=2D′H=30,
∵DE=ED′,DF=FD″,
∴△DEF的周長(zhǎng)=DE+EF+DF=ED′+EF+FD″=D′D″=30,
∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值為30.
(3)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上,點(diǎn)F在線段CD上時(shí),作FH⊥AB于H.則四邊形BCFH是矩形,FH=BC=20cm.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=20cm,
∵∠A=∠EPF=∠FHP=90°,
∴∠APE+∠FPH=90°,∠FPH+∠PFH=90°,
∴∠APE=∠PFH,
∴△APE∽△HFP,
∴===,
∴PF=2PE,
∴當(dāng)PF的值最大時(shí),△PEF的面積最大,
∴當(dāng)點(diǎn)F與C重合時(shí),△PEF的面積最大,此時(shí)PF==10cm,PE=5cm,
∴此時(shí)△PEF的面積的最大值為×5×10=125(cm2).
如圖④中,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上,點(diǎn)F在線段BC上時(shí),延長(zhǎng)EP交CB的延長(zhǎng)線于H.
∵∠EAP=∠PBH=90°,∠APE=∠BPH,AP=PB,
∴△APE≌△BPH
∴PE=PH,
∵FP⊥EH,
∴FE=FH,
∴S△EFP=S△PFH=FHPB=5FH=5EF,
∴EF的值最大時(shí),△PEF的面積最大,
∴當(dāng)點(diǎn)E與D重合或點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),△PEF的面積最大,最大面積=125cm2,
當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上,點(diǎn)F在線段BC上時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),△PEF的面積最大,最大值為125cm2,
綜上所述,△PEF的面積有最大值,最大值為125cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷,經(jīng)過(guò)調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)(元/件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天銷售量(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)研究發(fā)現(xiàn),每天銷售量與單價(jià)滿足一次函數(shù)關(guān)系,求出與的關(guān)系式;
(2)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定,該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過(guò)45元/件,那么銷售單價(jià)定為多少時(shí),工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)8000元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,E為邊AD上的一點(diǎn),將△DEC沿CE折疊至△D′EC處,若∠B=48°,∠ECD=25°,則∠D′EA的度數(shù)為( 。
A.33°B.34°C.35°D.36°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若兩個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于同一點(diǎn),則稱這兩個(gè)函數(shù)為一對(duì)“x牽手函數(shù)”,這個(gè)交點(diǎn)為“x牽手點(diǎn)”.
(1)一次函數(shù)y=x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ;一次函數(shù)y=ax+2與一次函數(shù)y=x﹣1為一對(duì)“x牽手函數(shù)”,則a= ;
(2)已知一對(duì)“x牽手函數(shù)”:y=ax+1與y=bx﹣1,其中a,b為一元二次方程x2﹣kx+k﹣4=0的兩根,求它們的“x牽手點(diǎn)”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度。一天下午,他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹前,由于有圍欄保護(hù),他們無(wú)法到達(dá)古樹的底部B,如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)D,并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器DC,測(cè)得古樹的頂端A的仰角為45°;再在BD的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)G,使DG=5米,并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡,小明沿著BG方向移動(dòng),當(dāng)移動(dòng)帶點(diǎn)F時(shí),他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像,此時(shí),測(cè)得FG=2米,小明眼睛與地面的距離EF=1.6米,測(cè)傾器的高度CD=0.5米。已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上,且EF、CD、AB均垂直于FB,求這棵古樹的高度AB。(小平面鏡的大小忽略不計(jì))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,等邊△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上.
(1)、求證:△ABE≌△ADF;
(2)、若等邊△AEF的周長(zhǎng)為6,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售,經(jīng)了解,甲種水果的進(jìn)價(jià)比乙種水果的進(jìn)價(jià)每千克少4元,且用800元購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量與用1000元購(gòu)進(jìn)乙種水果的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種水果的單價(jià)分別是多少元?
(2)該水果商根據(jù)該水果店平常的銷售情況確定,購(gòu)進(jìn)兩種水果共200千克,其中甲種水果的數(shù)量不超過(guò)乙種水果數(shù)量的3倍,且購(gòu)買資金不超過(guò)3420元,購(gòu)回后,水果商決定甲種水果的銷售價(jià)定為每千克20元,乙種水果的銷售價(jià)定為每千克25元,則水果商應(yīng)如何進(jìn)貨,才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,拋物線的頂點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和直線的解析式.
(2)在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分(不包含兩點(diǎn)),是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)在軸上,當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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