Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+1（k≠0）與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象有公共點(diǎn)A（1，2），直線l⊥x軸于點(diǎn)N（3，0），與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)B、C．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可求解；
（2）過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，首先求得B、C的坐標(biāo)，則BC即可求得，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，求得直線BA'解析式，直線與x軸的交點(diǎn)就是所求．

解答：解：（1）將A（1，2）代入一次函數(shù)解析式得：k+1=2，即k=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=x+1；           
將A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，
∴反比例解析式為y=

2

x

；                 
（2）過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，
則AD=3-1=2，
對(duì)于y=x+1，令x=3，則y=3+1=4，
∴B（3，4）．
對(duì)于 y=

2

x

，令x=3則y=

2

3

，
∴C（3，

2

3

）．
∴BC=3-

2

3

=

10

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，易知A'坐標(biāo)為（1，-2），
連結(jié)BA'，則直線BA'與x軸的交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．
設(shè)直線BA'解析式為y=ax+b（a≠0），得

3a+b=4 a+b=-2

，解得：

a=3 b=-5

．
∴y=3x-5                             
令y=0，則3x-5=0，
∴x=

5

3

．
∴P的坐標(biāo)是（

5

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積的計(jì)算，確定P的位置是關(guān)鍵．