【題目】如圖,拋物線的圖象過點C(0,1),頂點為Q(2,3),點D在x軸正半軸上,線段OD=OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在點M,使得△CDM是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,請求出M點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,連接QE.若點P是線段QE上的動點,點F是線段OD上的動點,問:在P點和F點的移動過程中,△PCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個最小值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ;(2)(2 , 3 )或 )或;(3)存在, .
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)已知條件設(shè)拋物線解析式為,代入點C的坐標(biāo)就可以求出解析式了;
(2)①當(dāng)點C是直角頂點時,由已知求出直線DM的解析式,再把所求解析式和(1)中所求二次函數(shù)解析式組合成方程組,解方程組即可求得點M的坐標(biāo);②當(dāng)點D是直角頂點時,同①的方法可求得對應(yīng)的M的坐標(biāo);
(3)如圖3,分別作點C關(guān)于直線QE和直線OD的對稱點C′和C′′,連接C′C′′交OD于點F,交QE于點P,則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸對稱的性質(zhì)可知,△PCF的周長等于線段C′C″的長度;如圖4,連接C′E,作C′N⊥y軸于點N,結(jié)合已知條件解出C′C′′的長度即可.
試題解析:
(1)設(shè)拋物線的解析式為,
將C(0,1)代入得: ,
解得: ,
∴拋物線的解析式為: 即;
(2)①如圖1,當(dāng)點C為直角頂點時,
∵點C的坐標(biāo)為(0,1),
∴OD=OC=1,
∴點D的坐標(biāo)為(1,0),
設(shè)直線CD為,則: ,解答,
∴直線CD的解析式為: ,
∵此時CM⊥CD,
∴CM的解析式為: ,
由: ,解得: , ,
∵點(0,1)與點C重合,
∴點M的坐標(biāo)為(2,3),此時點M與點Q重合;
②如圖②,當(dāng)D為直角頂點時,由①可得直線DM的解析式為,
由: ,解得: , ,
∴點M的坐標(biāo)為為或;
綜上所述,符合題意的M有三點,分別是(2 , 3 ), 或.
(3) 存在.如圖③所示,作點C關(guān)于直線QE的對稱點C′,作點C關(guān)于x軸的對稱點C″,連接C′C″,交OD于點F,交QE于點P,則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸對稱的性質(zhì)可知,△PCF的周長等于線段C′C″的長度.
如答圖④所示,連接C′E,
由(2)可知,QC⊥CD, 由題意可得:QC=QE,
∵∠DCE=45°,
∴∠QCE=45°=∠QEC,
∴△QCE是等腰直角三角形,
∵C,C′關(guān)于直線QE對稱,
∴△QC′E為等腰直角三角形,
∴△CEC′為等腰直角三角形,
∵在拋物線中,由解得,
∴點E的坐標(biāo)為(4,1),
∴CE=4=C′E,
∴點C′的坐標(biāo)為(4,5);
∵C,C″關(guān)于x軸對稱,
∴點C″的坐標(biāo)為(0,﹣1).
∴OC″=1,
過點C′作C′N⊥y軸于點N,則NC′=CE=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″=.
綜上所述,在P點和F點移動過程中,△PCF的周長存在最小值,最小值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P與點 Q 都在y軸上,且關(guān)于x軸對稱.
(1)請畫出△ABP 關(guān)于x軸的對稱圖形 (其中點 A 的對稱點用 表示,點 的對稱點用 表示);
(2)點P ,Q 同時都從y軸上的位置出發(fā),分別沿l1,l2方向,以相同的速度向右運動,在運動過程中是否在某個位置使得 成立?若存在,請你在圖中畫出此時 PQ 的位置(用線段 表示),若不存在,請你說明理由(注:畫圖時,先用鉛筆畫好,再用鋼筆描黑).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在中,,,為外角的平分線,.
(1)求證:四邊形為矩形;
(2)當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形是正方形?并給予證明
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對角線。將△DCB繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH,HG交AB于點E,連接DE交AC于點F,連接FG。則下列結(jié)論:①四邊形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.其中正確的結(jié)論是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ②
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知直線y=﹣2x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于點A、B,點C為線段OA上一動點,連接BC,作BC的中垂線分別交OB、AB交于點D、E.
(l)當(dāng)點C與點O重合時,DE= ;
(2)當(dāng)CE∥OB時,證明此時四邊形BDCE為菱形;
(3)在點C的運動過程中,直接寫出OD的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖像可能是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)思考探究:如圖①,的內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點,請?zhí)骄?/span>與的關(guān)系是______.
(2)類比探究:如圖②,四邊形中,設(shè),,,四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點.求的度數(shù).(用,的代數(shù)式表示)
(3)拓展遷移:如圖③,將(2)中改為,其它條件不變,請在圖③中畫出,并直接寫出_____.(用,的代數(shù)式表示)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著手機普及率的提高,有些人開始過分依賴手機,一天中使用手機時間過長而形成了“手機癮”,某校學(xué)生會為了了解本校初三年級的手機使用情況,隨機調(diào)查了部分學(xué)生的手機使用時間,將調(diào)查結(jié)果分成五類:
A、基本不用;B、平均每天使用1~2h;C、平均每天使用2~4h;D、平均每天使用4~6h;E、平均每天使用超過6h,并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)學(xué)生會一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)此次調(diào)查的學(xué)生中屬于E類的學(xué)生有 人,并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若一天中手機使用時間超過6h,則患有嚴(yán)重的“手機癮”,該校初三學(xué)生共有900人,請估計該校初三年級中患有嚴(yán)重的“手機癮”的人數(shù).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com