如圖所示，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合），設(shè)AB=a，AD=b，BE=x。
（1）求證：AF=EC；
（2）用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C。
①求出直線EE′分別經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)D時(shí)，所對應(yīng)的 x︰b的值；
②在直線EE′經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認(rèn)為平行，請給予證明；你若認(rèn)為不平行，請你說明當(dāng)a與b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們垂直？
解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE，
∴a（x+AF）=a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x），
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC，
即AF=EC；
（2）①當(dāng)直線EE′經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖（一），
∵EC∥E′B′，　
∴，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，
∴x︰b=，
當(dāng)直線E′E經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖（二），
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，
∴CE=（AD+E′B′），
即b-x=（b+x），
∴x︰b=；
②如圖（三），
當(dāng)直線EE′ 經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，BE′∥EF，
證明：連接BF，
∵FD∥BE，F(xiàn)D=BE，
∴四邊形FBED是平行四邊形，
∴FB∥DE，F(xiàn)B=DE，
又∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′， FB=EE′，
∴四邊形BE′EF是平行四邊形
∴BE′∥EF，
如圖（四），
當(dāng)直線EE′ 經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，顯然BE′與EF不平行，
設(shè)直線EF與BE′交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a，
∵x︰b=，
∴EM=BC=b，
若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E =，
∴，
又∵a＞0，b＞0，，
∴當(dāng)時(shí)，BE′與EF垂直。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如圖①，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是
EF=FC
；∠EFD的度數(shù)為
90°
；
（2）如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)．則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）若△ADE繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖③的位置，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，連接EF、FC，請你完成圖③，并直接寫出線段EF與FC的關(guān)系（無需證明）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)矩形OBCD在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中三個(gè)頂點(diǎn)分別是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直線AB交x軸于點(diǎn)A（1，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EF交AB于點(diǎn)F，將直線AB沿x軸向右平移2個(gè)單位，與x軸交于點(diǎn)G，與EF交于點(diǎn)H，請問過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△PAG=
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S△PEH？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

22、用尺軌三等分任意角是數(shù)學(xué)中的一大難題，但我們可以用“折紙法”把一個(gè)直角三等分．如圖所示，
具體做法：（1）將一矩形紙片ABCD對折，EF為折痕；
（2）繼續(xù)沿過點(diǎn)C的直線CO對折，使點(diǎn)B落在EF上得到點(diǎn)G，則CO、CG就把∠BCD三等分了．請你寫出它的推理過程．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)　讀想練同步測試　七年級數(shù)學(xué)(下) 北師大版 題型：044

如圖所示，點(diǎn)A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．

(1)

如圖所示甲，若EF與BD相交于G，試問EG與FG能相等嗎？試說明理由．

(2)

如圖所示乙，若將△DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)至圖中所示位置時(shí)，其余條件不變，(1)中結(jié)論是否還能成立？請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案