Question

已知拋物線y=x²+kx+1與x軸兩個交點A、B都在原點左側(cè)，頂點為C，△ABC是等腰直角三角形，求k的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設(shè)A（a，b），B（c，d）是拋物線y=x²+kx+1與x軸的兩個交點，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及完全平方公式的變形公式求得AB的長度；然后利用頂點坐標(biāo)公式求得CD的長度；最后由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值．

解答：解：設(shè)A（a，b），B（c，d）是拋物線y=x²+kx+1與x軸的兩個交點，
∴a+c=-k，ac=1，
∴AB=

(a+c)2-4ac

=

k2-4

∵拋物線的解析式為：y=x²+kx+1，
∴C（-

k

2

，

4-k2

4

）．
∵△ABC是等腰直角三角形，拋物線的頂點為C，
∴CD=

1

2

AB，即|

4-k2

4

|=

1

2

k2-4

解得 k₁=2，k₂=-2（舍去），
即k的值是2．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，等腰直角三角形．求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．