Question

直線l：y=-

3

4

x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，等腰直角△CDM斜邊落在x軸上，且CD=6，如圖1所示．若直線l以每秒3個(gè)單位向上作勻速平移運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C從（6，0）開始以每秒2個(gè)單位的速度向右作勻速平移運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，設(shè)移動(dòng)后直線l運(yùn)動(dòng)后分別交x軸、y軸于Q、P兩點(diǎn)，以O(shè)P、OQ為邊作如圖矩形OPRQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)M、點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若設(shè)矩形OPRQ與運(yùn)動(dòng)后的△CDM的重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t相應(yīng)的取值范圍；
（3）若直線l和△CDM運(yùn)動(dòng)后，直線l上存在點(diǎn)T使∠OTC=90°，則當(dāng)在線段PQ上符合條件的點(diǎn)T有且只有兩個(gè)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過M作MN⊥CD于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CN=DN=MN=3，求出B的坐標(biāo)，即可得到M、Q的坐標(biāo)；
（2）①0＜t＜1時(shí)，s=0②1＜t≤2.5，如圖2，S=

1

2

CQ•QH，把CQ、QH代入即可求出答案；③當(dāng)2.5＜t＜4時(shí)，如圖（3）同法可求DQ，根據(jù)s=S_△CMD-S_△DQE，求出△CMD和△DQE的面積代入即可；④當(dāng)t≥4時(shí)，s=S_△CMD=

1

2

×6×3=9；
（3）①直線L經(jīng)過點(diǎn)C，即C、Q重合，根據(jù)4+4t=6+2t，求出即可；②如圖直線L切圓于F，證△QFE∽△QOW，得出

EQ

QW

=

EF

OW

，代入即可求出t的值，進(jìn)一步得出t的取值范圍．

解答：（1）解：過M作MN⊥CD于N，
∵等腰直角△CDM，
∴CN=DN=MN=3，
由勾股定理得：MC=MD=3

2

，
∵點(diǎn)C從（6，0）開始以每秒2個(gè)單位的速度向右作勻速平移運(yùn)動(dòng)，
∴ON=6+3+2t=9+2t，
∵y=-

3

4

x+3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴B（4，0），
∵直線l以每秒3個(gè)單位向上作勻速平移運(yùn)動(dòng)，
∴直線PQ的解析式是y=-

3

4

x+3+3t，
y=0代入得：0=-

3

4

x+3+3t，
x=4t+4
∴OQ=4+4t，
∴M（9+2t，3），Q（4+4t，0），
答：運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)M、點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是（9+2t，3），（4+4t，0）．

（2）解：①∵當(dāng)兩圖形不重合時(shí)，因?yàn)锽（4，0），故OB=4，此時(shí)BC=2，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)速度為4個(gè)單位每秒，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位每秒，若點(diǎn)B經(jīng)過t秒追上點(diǎn)C，則4t-2t=2，故t=1秒，所以t的范圍是：0＜t＜1，s=0，如圖1，
②∵當(dāng)t=2.5時(shí)，RQ過M點(diǎn)，
∴1＜t≤2.5，如圖2，由矩形OPRQ，∠OQH=90°，
∵∠MCD=45°=∠CHQ，
∴CQ=（4+4t）-（6+2t）=2t-2=QH，
∴S=

1

2

CQ•QH=

1

2

（2t-2）²=2t²-4t+2，
即：s=2t²-4t+2；
③∵當(dāng)t=4時(shí)，RQ過D點(diǎn)，
∴當(dāng)2.5＜t＜4時(shí)，如圖（3）：

同法可求DQ=OD-OQ=（6+6+2t）-（4+4t）=8-2t，
∴s=S_△CMD-S_△DQE=

1

2

×6×3-

1

2

（8-2t）²=-2t²+16t-23，
即：s=-2t²+16t-23；

④∵當(dāng)t≥4時(shí)，△MDC在矩形PRQO的內(nèi)部，
∴當(dāng)t≥4時(shí)，s=S_△CMD=

1

2

×6×3=9；
答：S與t的函數(shù)關(guān)系式是s=2t²-4t+2（1＜t≤2.5）或s=-2t²+16t-23（2.5＜t＜4）或s=9（t≥4）．

（3）解：①直線L經(jīng)過點(diǎn)C，即C、Q重合

此時(shí)4+4t=6+2t，
解得：t=1；
②如圖直線L切圓于F，即點(diǎn)T，OE=EF=3+t，EQ=1+3t

∵∠FQC=∠FQC，∠EFQ=∠COW=90°，
∴△QFE∽△QOW，
∴

EQ

QW

=

EF

OW

，

1+3t

(- 9 4 t+3)2+(3+t+1+3t)2

=

3+t

- 9 4 t+3

，
求得：t=3，
∴1＜t＜3，
答：t的取值范圍是1＜t＜3．

點(diǎn)評：本題主要考查對矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．