Question

20．如圖，已知?ABCD的對角線AC與 BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，與邊AD、BC 分別交于點 E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 由?ABCD的對角線AC與 BD相交于點O，EF⊥AC，易得EF垂直平分AC，即可證得△AOE≌△COF，繼而可得AE=CF，則可證得結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AO=CO，AD∥BC
又∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AE=EC
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，AE∥CF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCA}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是菱形．

點評 此題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△AOE≌△COF是解此題的關(guān)鍵．