Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，動點D從A點出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B運動，過點D作AB的垂線，交折線AC-CB于點E，以DE為直角邊向右作等腰直角三角形DEF，∠DEF=90°，設運動時間為t（秒），△DEF與△ABC重疊部分的面積為S（平方單位）．
（1）求BC的長；
（2）當點F落在BC邊上時，求t的值；
（3）求S與t的函數(shù)關系式；
（4）動點G從點B出發(fā)，沿BA方向以每秒1個單位的速度向點A運動，過點G作AC的平行線l，若點D、G同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當t為何值時，直線l經(jīng)過△DEF三邊中一邊的中點．

Answer 1

分析 （1）構造直角三角形，用三角函數(shù)計算出CG，再用勾股定理計算即可；
（2）由題意用CE=FE建立方程即可；
（3）分三種情況用面積和差進行計算即可，
（4）分三種情況過DE 的中點，過DF中點，過EF中點，用三角函數(shù)計算即可．

解答 解：（1）如圖，

過點C作CG⊥AB于點G，
∵在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴CG=AC•sinA=6，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=8，
∴BG=AB-AG=2，
∴BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
（2）當點F落在BC邊上時，CE=FE，
∴$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
解得：t=5；
（3）當0＜t＜≤5時，如圖，

AD=t，DE=$\frac{3}{4}$t，
∴S=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$（\frac{3}{4}t）^{2}$=$\frac{9}{32}{t}^{2}$，
當5＜t＜≤8時，如圖2，

EF=DE=$\frac{3}{4}t$，GF=$\frac{3}{4}$t-（10-t），HM=[$\frac{3}{4}$t-（10-t）]×$\frac{3}{4}$，
∴S=S_△DEF-S_△FGH=$\frac{9}{32}{t}^{2}-\frac{1}{2}[\frac{3}{4}t-（10-\frac{5}{4}t）]^{2}×\frac{3}{4}$=-$\frac{39}{32}{t}^{2}+15t-\frac{75}{2}$
當8＜t＜≤10時，如圖3，

DE=3（10-t），HM=（10-t）×$\frac{3}{4}$
∴S=S_△DEH=$\frac{1}{2}$×3×（10-t）（10-t）×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{8}{t}^{2}-\frac{45}{2}t+\frac{225}{2}$，
（4）∵直線l經(jīng)過△DEF三邊中一邊的中點，
當直線l經(jīng)過DF的中點時，$\frac{\frac{3}{8}t}{\frac{3}{8}t+（2t-10）}=\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{16}{3}$
當直線l經(jīng)過DE的中點時，$\frac{\frac{3}{8}t}{2t-10}$=$\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{20}{3}$
當直線l經(jīng)過EF的中點時，$\frac{3}{8}t=10-t$，
∴t=$\frac{80}{11}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，圖形面積的計算，解本題的關鍵是畫出圖形，用沒面積的和差是解本題的難點．