Question

3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為AD上兩點(diǎn)，AE=EF=FD，連接BE、CF并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，GB=GC．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若△GEF的面積為2．
①求四邊形BCFE的面積；
②四邊形ABCD的面積為24．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，求得△GBC的面積為18，于是得到四邊形BCFE的面積為16；
②根據(jù)四邊形BCFE的面積為16，列方程得到BC•AB=24，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，
∴GB-GE=GC-GF，
∴BE=CF，
在△ABE與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠AEB=∠DFC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）①∵EF∥BC，
∴△GFE∽△GBC，
∵EF=$\frac{1}{3}$AD，
∴EF=$\frac{1}{3}$BC，
∴$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵△GEF的面積為2，
∴△GBC的面積為18，
∴四邊形BCFE的面積為16，；
②∵四邊形BCFE的面積為16，
∴$\frac{1}{2}$（EF+BC）•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$BC•AB=16，
∴BC•AB=24，
∴四邊形ABCD的面積為24，
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得△GFE∽△GBC是解題的關(guān)鍵．