Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中點，連接DO，過點C作CE∥DA，交DO的延長線于點E，連接AE．

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若F是CE上的動點（點F不與C、E重合），連接AF、DF、BE，請直接寫出圖2中與四邊形ABDF面積相等的所有的三角形和四邊形（四邊形ABDF除外）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定求出△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）根據(jù)面積公式和等底等高的三角形的面積相等得出即可．

解答 （1）證明：∵CE∥DA，
∴∠OCE=∠OAD，
∵O為AC的中點，
∴OA=OC，
在△ADO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠DOA=∠EOC}\end{array}\right.$
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴OD=OE，
∵OA=OC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；

（2）解：圖2中與四邊形ABDF面積相等的所有的三角形和四邊形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四邊形ABDE，
理由是：∵△ACD和△AFD的面積相等（等底等高的三角形面積相等），
∴S_△ADC=S_△ADF，
∴S_△ADC+S_△ADB=S_△ADF+S_△ADB，
∴S_{四邊形ABDF}=S_△ABC；
∵S_△BCE=S_△ABC，
∴S_{四邊形ABDF}=S_△BCE；
∵S_△ADB=S_△ADC，S_△ADF=S_△AEC，
∴S_{四邊形ABDF}=S_矩形ADCE；
∵S_△ADF=S_△ADE，
∴都加上△ADB的面積得：S_{四邊形ABDF}=S_{四邊形ABDE}．

點評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．