Question

（1）如圖1，已知?ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：CD=FA．
（2）如圖2，在小山東側(cè)的A莊有一熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以每分鐘35米的速度沿著與水平方向成75°角的方向飛行，40分鐘時(shí)到達(dá)C處．此時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)氣球與山頂P點(diǎn)及小山西側(cè)的B莊在一條直線上，同時(shí)測(cè)得B莊的俯角為30°．又在A莊測(cè)得山頂P的仰角為45°．求A莊與B莊的距離及山高．（保留準(zhǔn)確值）

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中點(diǎn)，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=35×40=1400（米），
∴AD=AC•sin45°=700 （米）．
在Rt△ABD中，∠B=30°，
AB=2AD=1400 （米）．
又過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，
則AE=PE•tan45°=PE，
BE=PE•tan60°=PE，
∴PE=1400 ，
∴PE=700（ ）（米）．
答：A莊與B莊的距離是1400 米，山高是700（ ）米．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，-就可證明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即證△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
（2）此題要先作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，則先求得AC的長(zhǎng)，再求得AD的長(zhǎng)、AB的長(zhǎng)，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定的綜合運(yùn)用，也是基礎(chǔ)題．本題第二問(wèn)考查俯仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．