Question

我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱

長方形

，

正方形

；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你直接寫出所有以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連結(jié)AD，DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）只要四邊形中有一個角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形．
（2）利用勾股定理計算畫出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

解答：解：（1）長方形，正方形；
故答案是：長方形，正方形；

（2）如圖1，點M（3，4）或M（4，3）；

（3）證明：如圖2，連結(jié)EC．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ABC≌△DBE，則BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°
∴△CBE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點評：本題考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．