Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點(diǎn)為A．二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸上．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）．
∵二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸上．
∴二次函數(shù)y=ax²+bx的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=1，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱(chēng)，
因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，2），C（2，0），
所以

a+b=2 4a+2b=0

，
解得

a=-2 b=4

，
所以二次函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式為y=-2x²+4x．