Question

如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，若AB長為10cm，點(diǎn)O到BC的距離為4cm．
（1）求弦BC的長；
（2）問經(jīng)過幾秒后△BPC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）作OD⊥BC于D，易求得BC=2BD=6cm；
（2）由題意知，PB=AB=10-t，故有三種情況，BP=BC或PC=PB或BC=BP，分別求解．

解答：解：（1）作OD⊥BC于D，由垂徑定理知，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BD=

1

2

BC，
∵OB=

1

2

AB=5，OD=4，
由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=3，
∴BC=2BD=6cm；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，△BPC是等腰三角形，
①當(dāng)PC為底邊時(shí)，有BP=BC，10-t=6，解得：t=4（秒）；
②當(dāng)BC為底邊時(shí)，有PC=PB，P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，此時(shí)t=5（秒）；
③當(dāng)PB為底邊時(shí)，有PC=BC，連接AC，作CE⊥AB于E，
則BE=

10-t

2

，AE=

10+t

2

，
∵AB是直徑，
∴△ABC是直角三角形，
根據(jù)勾股定理AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
由AC²-AE²=BC²-BE²，
64-（

10+t

2

）²=36-（

10-t

2

）²，
解得：t=2.8（秒）．
綜上，經(jīng)過4秒或5秒或2.8秒時(shí)，△BPC是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題利用了垂徑定理，勾股定理求解，注意當(dāng)△BPC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的位置有三種情況．