Question

如圖，?ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于點E．
（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度數(shù)；
（2）求證：AB=2OE．

Answer 1

（1）解：在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠ABD=2∠DBC，∠ADB=25°，
∴∠ABD=2×25°=50°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE=90°-∠ABD=90°-50°=40°；

（2）證明：如圖，取AB的中點F，連接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵AO=CO，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=AB，
∴AB=2OE．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DBC=∠ADB，然后求出∠ABD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可求出∠BAE；
（2）取AB的中點F，連接EF、OF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=BF=AB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABD=∠BEF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠EFO=∠EOF，再根據(jù)等角對等邊可得EF=OE，從而得證．
點評：本題考查了平行四邊形的對邊平行，對角線互相平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．