Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點A，且BD⊥MN于點D．
（1）如圖1，求證：BD+AD=$\sqrt{2}$CD．
（2）探究：當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2、3所示的位置時，線段BD、AD、CD之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？試寫出你的猜想，并選擇其中一種情況進行證明．

Answer 1

分析 （1）如圖，過點C作CE⊥CD交MN于E，先證△ACE≌△DCB，得出△ECD是等腰直角三角形，進而得出DE=$\sqrt{2}$CD，又因為DE=AE+AD，即可求得；
（2）如圖2，過點C作CE⊥CD交MN于E，先證△ACE≌△DCB，得出△ECD是等腰直角三角形，進而得出DE=$\sqrt{2}$CB，又因為DE=AD-AE=AD-BD，即可求得；
如圖3，方法同上．

解答 解：（1）如圖（1），過點C作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵四邊形ACBD的內(nèi)角和為360°，
∴∠BCD+∠CAD=180°
∵∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠EAC=∠DBC，
在△ACE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠DBC}\\{∠DCB=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（AAS）
∴AE=BD，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+AD，
∴BD+AD=$\sqrt{2}$CD；

（2）如圖2猜想：AD-DB=$\sqrt{2}$CD，
證明：過C點作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACB=90°，∠ACE=90°-∠BCE，∠DCB=90°-∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠B=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠B，
又∵AC=BC，
在△ACE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠ACE}\\{∠CAE=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵DE=AD-AE，
∴DE=AD-BD，
∴AD-BD=$\sqrt{2}$CD；
如圖3，BD-AD=$\sqrt{2}$CD，
過C點作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACB=90°，∠ACE=90°-∠BCE，∠DCB=90°-∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠B=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠B，
又∵AC=BC，
在△ACE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠ACE}\\{∠CAE=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵AE=AD+DE，
∴DE=AE-BD，
∴BD-AD=$\sqrt{2}$CD．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等．