Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線OA與x軸正半軸重合，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：OA?OA₁?OA₂?…?OA_n…，旋轉(zhuǎn)角∠AOA₁=2°，∠A₁OA₂=4°，∠A₂OA₃=8°，…要求下一個(gè)旋轉(zhuǎn)角（不超過360°）是前一個(gè)旋轉(zhuǎn)角的2倍．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于360°時(shí)，又從2°開始旋轉(zhuǎn)，即∠A₈OA₉=2°，∠A₉OA₁₀=4°，…周而復(fù)始．則當(dāng)OA_n與y軸負(fù)半軸第一次重合時(shí)，n的值為（ ）（提示：2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=510）

A．28
B．32
C．36
D．40

Answer 1

【答案】分析：由題意知：每8組角為一個(gè)循環(huán)；若OA與y軸負(fù)半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：360°•k+270°，即旋轉(zhuǎn)的角度為整數(shù)，且是10的倍數(shù)；在每組的循環(huán)中，前4組或后4組角的度數(shù)和正好是10°的倍數(shù)，因此所求的n值必為4的倍數(shù)，可以利用排除法，逐一檢驗(yàn)．
解答：解：若經(jīng)過旋轉(zhuǎn)OA_n與y軸負(fù)半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的角度為：360°•k+270°，（k為正整數(shù)）
因此旋轉(zhuǎn)的角度必為10°的倍數(shù)；
由題意知：2+2²+2³+2⁴=30，2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=480；
即n的值必為4的倍數(shù)；
A、當(dāng)n=28時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（24÷8）+2+2²+2³+2⁴=1560°，
即360°•k+270°=1560°，所求得的k值不是正整數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)n=32時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（32÷8）=2040°，
即360°•k+270°=2040°，解得k值不是正整數(shù)，故B選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)n=36時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（32÷8）+2+2²+2³+2⁴=2070°，
即360°•k+270°=2070°，解得k=5，故C選項(xiàng)正確；
D、當(dāng)n=40時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（40÷8）=2550°，
即360°•k+270°=2550°，解得k值不是正整數(shù)，故B選項(xiàng)符合題意；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．主要運(yùn)用了排除法來解答，正確的表示出射線OA旋轉(zhuǎn)的角度，并正確的判斷出n是4的倍數(shù)，是解決此題的關(guān)鍵，難度較大．