Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設運動時間為t（秒）．
（1）設四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；
（2）是否存在時刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得PD⊥AB？若存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段內（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由三角形PCQ的面積列出關于t的一元二次方程，然后根據(jù)軸對稱圖形的性質知y=2S_△PCQ，即y=-12t²+48t；
（2）反證法．假設存在時刻t，使得PD∥AB，延長PD交BC于點M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易證明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得QM=

20

3

t；
（3）通過畫圖，可以知存在時刻t，使得PD⊥AB．

解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t，（1分）
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=-6t2+24t．
∵△PCQ與△PDQ關于直線PQ對稱，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．（2分）
（（0＜t＜4）（1分）

（2）設存在時刻t，使得PD∥AB，延長PD交BC于點M，如圖，（1分）
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
從而

QM

AB

=

QD

AC

，（2分）
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t．（2分）
若PD∥AB，則

CP

CA

=

CM

CB

，得

12-3t

12

=

4t+ 20 3 t

16

，（2分）
解得t=

12

11

．（1分）
∴當t=

12

11

秒時，PD∥AB．

（3）存在時刻t，使得PD⊥AB．時間段為：2＜t≤3．（2分）

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、二次函數(shù)的圖象與幾何變換、勾股定理以及平行線分線段成比例．要注意的是t的取值范圍是根據(jù)三角形的邊長來確定的．