Question

如圖，已知A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x軸上的點(diǎn)，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…
=A_nA_n+1=1，分別過點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，連接A₁B₂、B₁A₂、B₂A₃、…、A_nB_n+1、B_nA_n+1，依次相交于點(diǎn)P₁、P₂、P₃、…、P_n．△A₁B₁P₁、△A₂B₂P₂、△A_nB_nP_n的面積依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則S_n為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出S₁、S₂、S₃、…、S_n，進(jìn)而得出答案．

解答：解：∵A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x軸上的點(diǎn)，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，
分別過點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，
∴B₁的橫坐標(biāo)為：1，縱坐標(biāo)為：2，
∴B₁（1，2），
同理可得：B₂的橫坐標(biāo)為：2，縱坐標(biāo)為：4，
則B₂（2，4），
B₃（2，6）…
∵A₁B₁∥A₂B₂，
∴△A₁B₁P₁∽△A₂B₂P₁，
∴

A1B1

A2B2

=

1

2

，
∴△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂對(duì)應(yīng)高的比為：1：2，
∴A₁B₁邊上的高為：

1

3

，
∴S_△A1B1P1=

1

2

×

1

3

×2=3，
同理可得出：S_△A2B2P2=

4

5

，S_△A3B3P3=

9

7

，
∴S_n=

n2

2n+1

．
故答案為：

n2

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而得出S的變化規(guī)律，得出圖形面積變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．