Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OBC的外接圓交y軸于點(diǎn)A（0，2），∠OCB=60°，∠COB=45°．求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：作CH⊥OB，連結(jié)AB，如圖，易得△OCH為等腰直角三角形，則OH=CH，再根據(jù)圓周角定理，由∠AOB=90°得AB為△OBC的外接圓⊙D的直徑，連結(jié)CD，得到∠OAB=∠OCB=60°，
所以∠ABO=30°，可計(jì)算出AB=2OA=4，OB=

3

OA=2

3

，接著判斷△CBD為等腰直角三角形，得到BC=

2

BD=2

2

，設(shè)OH=x，則CH=x，BH=2

3

-x，然后在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得到（2

3

-x）²+x²=（2

2

）²，再解方程求出x即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：作CH⊥OB，連結(jié)AB，如圖，
∵∠COB=45°，
∴△OCH為等腰直角三角形，
∴OH=CH，
∵∠AOB=90°，
∴AB為△OBC的外接圓⊙D的直徑，
連結(jié)CD，
∵∠OAB=∠OCB=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
OB=

3

OA=2

3

，
∵∠CDB=2∠COB=90°，
∴△CBD為等腰直角三角形，
∴BC=

2

BD=2

2

，
設(shè)OH=x，則CH=x，BH=2

3

-x，
在Rt△BCH中，
∵BH²+CH²=BC²，
∴（2

3

-x）²+x²=（2

2

）²，解得x₁=

3

+1，x₂=

3

-1（舍去），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+1，

3

+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．