Question

16．如圖，已知平面直角坐標系中存在點M（2，0），點A（a，0）．在x軸負半軸上有點C，且滿足AM=OC，現(xiàn)以AC為對角線作正方形ABCD，設AM的中點為P，當以點O為圓心，OP為半徑的圓與正方形ABCD的邊相切時，a的值是2$\sqrt{2}$+2或6+4$\sqrt{2}$或6-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設正方形ABCD與⊙O相切于點N，連接ON，根據OA=$\sqrt{2}$ON=$\sqrt{2}$OP，分三種情形分別列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖1中，設正方形ABCD的邊AB與⊙O相切于點N，連接ON．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAN=45°，∠ONA=90°，
∴OA=$\sqrt{2}$ON=$\sqrt{2}$OP，
∴a=$\sqrt{2}$（$\frac{a+2}{2}$），
∴a=2$\sqrt{2}$+2．
如圖2中，設正方形ABCD的邊BC與⊙O相切于點E，連接OE

由CO=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$OP，得到：a-2=$\sqrt{2}$•$\frac{a+2}{2}$，解得a=6+4$\sqrt{2}$
如圖3中，

由OP=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC可得，$\frac{a+2}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-a），
解得a=6-4$\sqrt{2}$，
故答案為2$\sqrt{2}$+2或6+4$\sqrt{2}$或6-4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是利用等腰直角三角形斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍列出方程解決的，屬于中考�？碱}型．