Question

如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足．若CD，F(xiàn)E的延長線相交于點G，△DEG的外接圓與△CFG的外接圓的另一個交點為點P，連接PA，PB，PC，PD．
求證：（1）；（2）△PAB∽△PDC．

Answer 1

證明：（1）連接PE，PF，PG，
∵∠PDG=∠PEG，
∴∠PDC=∠PEF．
又∵∠PCG=∠PFG，
∴△PDC∽△PEF，
即，∠CPD=∠FPE從而△PDE∽△PCF，
∴=．
又∵=，
∴=；

（2）由于∠PDA=∠PGE=∠PCB，結(jié)合（1）知，△PDA∽△PCB，
從而有，∠DPA=∠CPB，
∴∠APB=∠DPC，
∴△PAB∽△PDC．
分析：（1）接PE，PF，PG，可得△PDC∽△PEF，△PDE∽△PCF，得出對應線段成比例，再通過轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論；
（2）由（1）中的三角形相似可得，∠DPA=∠CPB，得出∠APB=∠DPC，即可得出三角形相似．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題，題中涉及一部分圓的有關知識，能夠熟練掌握．