Question

如圖，已知點A（6，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過點P、O的二次函數(shù)y₁和過點P、A的二次函數(shù)y₂的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當0D=AD=5時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（　　）

• A、

  5

• B、

  4

  3

  5

• C、3
• D、4

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=5，DE=4．設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出

BF

DE

=

OF

OE

=

CM

DE

=

AM

AE

，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答：解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=5，DE⊥OA，
∴OE=EA=

1

2

OA=3，
由勾股定理得：DE=4．
設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴

BF

DE

=

OF

OE

=

CM

DE

=

AM

AE

，
∵AM=PM=

1

2

（OA-OP）=

1

2

（6-2x）=3-x，
即

BF

4

=

x

3

，

CM

4

=

3-x

3

，
解得：BF=

4

3

x，CM=4-

4

3

x，
∴BF+CM=4．
故選D．

點評：此題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．