Question

如圖，∠MAN=45°，B、C為AN上的兩點，且AB=BC=2，D為射線AN上的一個動點，過B、C、D三點作⊙O，則sin∠BDC的最大值為（　�。�

• A、

  2 5

  5

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：當⊙O與AM相切于D時，⊙O與AM有唯一的公共點，則∠BDC最大，此時sin∠BDC的最大，如圖，作BH⊥AD于H，可判斷△ABH為等腰直角三角形，則∠ADB=45°，AH=

2

2

AB=

2

，再根據(jù)切割線定理得AD²=AB•AC=8，計算出AD=2

2

，于是可判斷BH為△ACD的中位線，則BH∥CD，所以CD⊥AM，得到∠BDC=45°，于是有sin∠BDC=

2

2

．

解答：解：當⊙O與AM相切于D時，∠BDC最大，此時sin∠BDC的最大，如圖，
作BH⊥AD于H，
∵∠A=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，AH=

2

2

AB=

2

，
∵AD為⊙O的切線，
∴AD²=AB•AC=2（2+2）=8，
∴AD=2

2

，
∴DH=AH=

2

，
∴BH為△ACD的中位線，
∴BH∥CD，
∴CD⊥AM，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=45°，
∴sin∠BDC=

2

2

．
故選C．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會利用勾股定理計算線段的長．