Question

如圖，直線AC∥BD，連結AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①，②，③，④四個部分，規(guī)定：線上格點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連結PA，PB，構成∠PAC，∠PBD，∠APB三個角．
（1）當動點P落在第①部分時，求證∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時，∠PAC，∠PBD，∠APB有什么樣的數(shù)量關系？并證明；
（3）當動點P落在第③，④部分時，∠PAC，∠PBD，∠APB有什么樣的數(shù)量關系？（直接寫出關系，不需要證明）

Answer 1

考點：平行線的性質

專題：

分析：（1）首先過點P做AC的平行線，交AB于點E，進而利用平行線的性質得出即可；
（2）首先過點P做AC的平行線，交AB于點E，進而利用平行線的性質得出即可；
（3）利用平行線的性質以及三角形的外角的性質得出即可．

解答：解：（1）過點P做AC的平行線，交AB于點E，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠EPB，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
過點P做AC的平行線，交AB于點E，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠PAC+∠APE=180°，∠PBD+∠EPB=180°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=∠APE+∠EPB+∠PAC+∠PBD=360°；

（3）如圖所示：當點P落在第③部分時，∠PAC=∠PBD+∠APB；
當點P落在第④部分時，∠PAC=∠PBD+∠APB．

點評：此題主要考查了平行線的性質以及三角形的外角的性質，熟練掌握平行線的性質做出輔助線是解題關鍵．