已知:如圖,直線MN經(jīng)過▱ABCD的頂點A,BB′⊥MN,CC′⊥MN,DD′⊥MN,B′、C′、D′是垂足.
(1)求證:CC′=BB′+DD′.
(2)現(xiàn)將直線MN向上或向下平移,請分別按下面要求畫出示意圖,寫出這時四條垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間的等量關系式.并簡要說明證明思路.
(。┦裹cA、B、C、D都在直線MN的同一側,這時 ;
(ⅱ)使A點在MN的一側,點B、C、D在另一側,這時 ;
(ⅲ)使點A、B在MN的一側,點C、D在另一側,這時 .
【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)如圖1中,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于O′,利用三角形中位線定理以及梯形中位線定理即可證明.
(2)(。┤鐖D2中,結論AA′+CC′=BB′+DD,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,利用梯形中位線定理可以證明AA′+CC′=BB′+DD.
(ⅱ)如圖3中,結論CC′﹣AA′=BB′+DD,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,延長A′O交CC′于E,只要證明CC′﹣AA′=2OO′.BB′+DD′=2OO′即可.
(ⅲ)如圖4中,結論CC′﹣AA′=DD′﹣BB,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,證明方法類似.
【解答】(1)證明:如圖1中,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于O′.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=OC,BO=BD,
∵BB′⊥MN.OO′⊥MN,CC′⊥MN,DD′⊥MN,
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′,
∴B′O′=O′D′,AO′=O′C′,
∴CC′=2OO′,BB′+DD′=2OO′,
∴CC′=BB′+DD′.
(2)(。┊旤cA、B、C、D都在直線MN的同一側,
如圖2中,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,
∵BB′⊥MN.OO′⊥MN,CC′⊥MN,DD′⊥MN,AA′⊥MN,
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′,
∴B′O′=O′D′,A′O′=O′C′,
∴AA′+CC′=2OO′,BB′+DD′=2OO′,
∴AA′+CC′=BB′+DD′,
故答案為AA′+CC′=BB′+DD′
(ⅱ)當A點在MN的一側,點B、C、D在另一側,如圖3中,
如圖3中,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,延長A′O交CC′于E.
∵BB′⊥MN.OO′⊥MN,CC′⊥MN,DD′⊥MN,AA′⊥MN,
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′,
∴B′O′=O′D′,A′O′=O′C′,
∴BB′+DD′=2OO′,
∵AA′∥CE,
∴∠AA′O=∠OEC,
在△AA′O和△CEO中,
,
∴△AA′O≌△CEO,
∴AA′=EC,A′O=OE,
∴EC′=2OO′,即CC′﹣AA′=2OO′,
∴CC′﹣AA′=BB′+DD′,
故答案為CC′﹣AA′=BB′+DD.
(ⅲ)當點A、B在MN的一側,點C、D在另一側,
如圖4中,連接AC、BD交于點O,作OO′⊥MN于OO′,
∵BB′⊥MN.OO′⊥MN,CC′⊥MN,DD′⊥MN,AA′⊥MN,
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′,
∴B′O′=O′D′,A′O′=O′C′,
同理可以證明:CC′﹣AA′=2OO′,DD′﹣BB′=2OO′,
∴CC′﹣AA′=DD′﹣BB′,
故答案為CC′﹣AA′=DD′﹣BB′.
【點評】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質,解題的關鍵是正確添加輔助線,利用中位線定理解決問題,題目有點難度,學會轉化的思想,把問題轉化為三角形中位線、梯形中位線解決.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,OP=1,過P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2…依此法繼續(xù)作下去,得= .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
為了解某校學生每日運動量,收集數(shù)據(jù)正確的是( )
A.調(diào)查該校七年級學生每日運動量;
B.調(diào)查該校女生每日的運動量
C.調(diào)查該校男生每日的運動量;
D.從七、八、九年級各抽調(diào)100人調(diào)查他們每日的運動量
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
下列各組長度的線段能組成直角三角形的是( )
A.a=2,b=3,c=4 B.a=4,b=4,c=5
C.a=5,b=6,c=7 D.a=5,b=12,c=13
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
某養(yǎng)魚專業(yè)戶年初在魚塘中投放了500條草魚苗,6個月后從中隨機撈取17條草魚,稱重如下:
草魚質量(單位:千克) | 1.50 | 1.60 | 1.65 | 1.70 | 1.75 | 1.80 | 1.85 | 1.90 |
草魚數(shù)量(單位:條) | 2 | 3 | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | 1 |
估計這魚塘中年初投放的500條草魚此時的總質量大約為多少千克( )
A.845 B.854 C.846 D.847
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
為了解本科生的就業(yè)狀況,今年3月,某網(wǎng)站對本科生的簽約狀況進行了網(wǎng)絡調(diào)查.截止3月底,參與網(wǎng)絡調(diào)查的12000人中,只有4320人已與用人單位簽約.在這個網(wǎng)絡調(diào)查中,樣本容量是____________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
油箱中有油20升,油從管道中勻速流出,100分鐘流完.油箱中剩油量(升)與流出的時間(分)間的函數(shù)關系式是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
為了研究某的高度h(千米)與溫度t(℃)之間的關系,某日研究人員在該地的不同高度處同時進行了若干次實驗,測得的數(shù)據(jù)如下表:
h/千米 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | … |
t/℃ | 23 | 21 | 19 | 17 | 15 | 13 | 11 | … |
(1)在直角坐標系中,作出各組有序數(shù)對(h,t)所對應的點.
(2)這些點是否近似在一條直線上?
(3)估計此時3.5千米高度處的溫度.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com