Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，4）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）第一象限內(nèi)是否存在一點M，使△ABM是等腰直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）過點B作平行于x軸的直線k，取AB的中點E，過點E的正比例函數(shù)圖象與直線k交于點F，在直線k上找點Q，∠QEO=3∠BQE，求QF的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（k≠0），將A、B兩點的坐標(biāo)分別代入該解析式列出關(guān)于k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（2）需要分類討論：當(dāng)AB為底和當(dāng)AB為腰時，分別求得點M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)外角的性質(zhì)，要使∠QEO=3∠BQE，則∠BFE=2∠BQE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OE=AE，根據(jù)等邊對等角得出∠EOA=∠EAO，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠EFB=∠EBF，從而得出∠EBF=2∠BQE，進(jìn)而求得∠BQE=∠BEQ，根據(jù)等角對等邊求得BQ=BE，根據(jù)勾股定理求得AB的長，根據(jù)三角形相似求得BF的長，進(jìn)而即可求得QF的長度．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（2，0），B（0，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
則直線AB的解析式為y=-2x+4；                     
（2）分三種情況：
①如圖1，當(dāng)BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNB=∠BOA}\\{∠NMB=∠ABO}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐標(biāo)為（4，6 ）；
②如圖2

當(dāng)AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐標(biāo)為（6，2）；
③如圖3，

當(dāng)AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，則△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
設(shè)M（x，x），
由勾股定理得，
（x-2）²+x²=（4-x）²+x²，
解得，x=3；
∴M點的坐標(biāo)為（3，3）
綜上所知M點的坐標(biāo)為（4，6）（6，2）（3，3）；
（3）如圖4，

∵∠QEO=∠BQE+∠BFE，
∴要使∠QEO=3∠BQE，則∠BFE=2∠BQE，
∵E是AB的中點，
∴OE=AE，
∴∠EOA=∠EAO，
∵直線k∥x軸，
∴∠EFB=∠EOA，∠EBF=∠EAO，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠EBF=2∠BQE，
∴∠BQE=∠BEQ，
∴BQ=BE，
∵OA=2，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BQ=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∵BF∥OA，
∴△BEF∽△AEO，
∴$\frac{BF}{OA}$=$\frac{BE}{AE}$=1，
∴BF=OA=2，
∴QF=BQ+BF=$\sqrt{5}$+2或$\sqrt{5}$-2．

點評 本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．