如圖,已知在等腰Rt△BCD中,∠BDC=90°,BF平分∠DBC,與CD相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BD到A,使DA=DF,延長(zhǎng)BF交AC于E,H是BC邊的中點(diǎn),連接DH與BE相交于點(diǎn)G
(1)試說明:△FBD≌△ACD;
(2)試說明:△ABC是等腰三角形;
(3)試說明:CE=
12
BF;
(4)求BG:GE的值(直接寫出答案).
分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的直角邊相等可得BD=CD,再利用“邊角邊”證明△FBD和△ACD全等即可;
(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBF=∠DCA,再根據(jù)∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°,然后求出∠AEB=90°,再利用“角邊角”證明△ABE和△CBE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CB,從而得證;
(3)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC,AE=CE,然后求出CE=
1
2
BF;
(4)連接CG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DH垂直平分BC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BG=CG,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠GBC=∠GCB,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EGC=2∠GBC=45°,然后求出△EGC是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的
2
倍解答.
解答:證明:(1)在等腰Rt△BCD中,BD=CD,
∵∠BDC=90°,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∵在△FBD和△ACD中,
DA=DF
∠BDC=∠ADC
BD=CD
,
∴△FBD≌△ACD(SAS);

(2)∵△FBD≌△ACD,
∴∠DBF=∠DCA,
∵∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠A=90°,
∴∠DBF+∠A=90°,
∴∠AEB=180°-(∠DBF+∠A)=90°,
∵BF平分∠DBC,
∴∠ABF=∠CBF,
∵在△ABE和△CBE中,
∠AEB=∠CEB=90°
BE=BE
∠ABF=∠CBF
,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴AB=CB,
∴△ABC是等腰三角形;

(3)∵△FBD≌△ACD,
∴BF=AC,
∵△ABE≌△CBE,
∴AE=CE=
1
2
AC,
∴CE=
1
2
BF;

(4)連接CG,∵在等腰Rt△BCD中,H是BC邊的中點(diǎn),
∴DH垂直平分BC,
∴BG=CG,
∴∠GBC=∠GCB,
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°,
∴△EGC是等腰直角三角形,
∴CG=
2
GE,
即BG=
2
CE,
∴BG:GE=
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等角對(duì)等邊的性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì),綜合題但難度不大,熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,(4)作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.
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(2014•靜安區(qū)一模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,tanA=
4
3
,點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)CD,作DE⊥CD,交射線CB于點(diǎn)E,設(shè)AD=x.
(1)當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí),求線段DE的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△BED是等腰三角形時(shí),求x的值;
(3)如果y=
DE
DB
,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.

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如圖:已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,在直線AC上找點(diǎn)P,使△ABP是等腰三角形,則AP的長(zhǎng)度為
5、8、
25
8
5、8、
25
8

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如圖:已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直線AC上找點(diǎn)P,使△ABP是等腰三角形,則∠APB的度數(shù)為
15°、30°、75°、120°
15°、30°、75°、120°

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如圖,已知在等腰Rt△BCD中,∠BDC=90°,BF平分∠DBC,與CD相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BD到A,使DA=DF,延長(zhǎng)BF交AC于E,H是BC邊的中點(diǎn),連接DH與BE相交于點(diǎn)G
(1)試說明:△FBD≌△ACD;
(2)試說明:△ABC是等腰三角形;
(3)試說明:CE=數(shù)學(xué)公式BF;
(4)求BG:GE的值(直接寫出答案).

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