Question

【題目】如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A，B分別是軸正半軸, 軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn), ， ，以AO，BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC，拋物線交軸于點(diǎn)D，P為頂點(diǎn)，PM⊥軸于點(diǎn)M．

（1）求， 的長(zhǎng)(結(jié)果均用含的代數(shù)式表示)．

（2）當(dāng)時(shí),求該拋物線的表達(dá)式．

（3）在點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．

①若存在是等腰三角形,請(qǐng)求出所有滿足條件的的值．

②當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在拋物線的圖象上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）OD長(zhǎng)為k，PM的長(zhǎng)為k+3；

（2）該拋物線的表達(dá)式為；

（3）①滿足條件的的值為， 6，或

②的值為.

【解析】（1）點(diǎn)D在y=﹣x2+3x+k上，且在y軸上，即y=0求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)公式，求出即可；

（2）先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)PM=BM建立方程即可；

（3）①先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)△ADP是等腰三角形，分三種情況，AD=AP，DA=DP，PA=PD計(jì)算；

②由點(diǎn)P，D坐標(biāo)求出直線PD解析式，根據(jù)PD⊥AA′，且A（0，2k），確定出AA′解析式，繼而求出交點(diǎn)，再求出A′的坐標(biāo)即可．

解：（1）把x=0，代入，得．∴．

∵，∴．

（2）∵，∴, ．

又∵， ，∴，解得．

∴該拋物線的表達(dá)式為．

（3）①

Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC外部時(shí)

如圖所示，

過(guò)P作PK⊥OA于點(diǎn)K，當(dāng)AD=AP時(shí),

∵AD=AO-DO=2k-k=k，

∴AD=AP =k，KA=KO-AO=PM-AO=

KP=OM=2，在Rt△KAP中，

∴，解得．

Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC內(nèi)部時(shí)

當(dāng)PD=AP時(shí),如圖所示，

過(guò)P作PH⊥OA于H，

AD=k，HD=，

又∵HO=PM= ，

∴，解得．

當(dāng)DP=DA時(shí),如圖所示，

過(guò)D作PQ⊥PM于Q，

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2，DP=DA=k，

在Rt△DQP中， ．

∴．

②．

“點(diǎn)睛”此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，平面坐標(biāo)系中求線段的長(zhǎng)，等腰三角形的性質(zhì)，確定出函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵. 解（3）是本題的難點(diǎn).