Question

如圖1，已知拋物線y=ax²的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，△PAB是等邊三角形．
（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

3

，求點(diǎn)B、A的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①如圖2，將（1）中拋物線進(jìn)行平移，使點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)椋╩，n），其他條件不變，請(qǐng)猜想△PAB的邊長；
②若將拋物線“y=ax²”，改為拋物線“y=2x²-8x-2”，其他條件不變，求△PAB的邊長；
（3）已知等邊△MCD，CD∥x軸，拋物線l經(jīng)過△MCD 的三個(gè)頂點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），△MCD的邊長為2b，請(qǐng)直接寫出拋物線l的函數(shù)表達(dá)式．（用含m、n、b的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件“△PAB是等邊三角形，AB∥x軸，設(shè)AB交y軸于E”推知，△PEB是直角三角形，在直角三角形內(nèi)根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求得AE=BE=

3

；然后由等邊三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)求得∠PBE=60°，所以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求得點(diǎn)A的坐標(biāo)（-

3

，3）；最后由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大小，來回答問題；
②第一種方法：平移拋物線y=2x²-8x-2，使P與O重合，得拋物線y=2x²，設(shè)相應(yīng)的等邊三角形為A'B'O，B'點(diǎn)坐標(biāo)為（k，

3

k），然后利用二次函數(shù)圖象上坐標(biāo)的特征求得關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可（由平移不改變圖形的形狀和大小決定k值）；
第二種方法：y=2x²-8x-2可變形為y=2（x-2）²-10，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；再由已知條件“△PAB是等邊三角形，AB∥x軸”設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（2+k，-10+

3

k）；然后利用二次函數(shù)圖象上坐標(biāo)的特征求得關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可（由平移不改變圖形的形狀和大小決定k值）；
（3）由（1）、（2）可以直接寫出拋物線l的函數(shù)表達(dá)式．（用含m、n、b的式子表示）．

解答：解：（1）∵△PAB是等邊三角形，AB∥x軸，設(shè)AB交y軸于E，
∴△PEB是直角三角形，AE=BE=

3

，∠PBE=60°，
∴∠BPE=30°，PB=2BE=2

3

，PE=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（

3

，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)（-

3

，3），（2分）
∵點(diǎn)B在拋物線y=ax²上，
∴3=（

3

）²a，解得：a=1，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²（4分）；

（2）①∵平移不改變圖形的形狀和大小，
∴△PAB的邊長仍為2

3

；（6分）
②方法一：平移拋物線y=2x²-8x-2，使P與O重合，得拋物線y=2x²，
設(shè)相應(yīng)的等邊三角形為A'B'O，B'點(diǎn)坐標(biāo)為（k，

3

k），
∴

3

k=2k²，解得：k₁=0（舍去），k₂=

3

2

，A'B'=2k=

3

，
∵平移不改變圖形的形狀和大小，
∴△PAB的邊長為

3

；（11分）
方法二：y=2x²-8x-2可變形為y=2（x-2）²-10，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-10），由△PAB是等邊三角形，AB∥x軸，
∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（2+k，-10+

3

k），
∴-10+

3

k=2（2+k）²-8×（2+k）-2，
解得：k₁=0（舍去），k₂=

3

2

，AB=2k=

3

，
∴△PAB的邊長為

3

；（11分）

（3）y=

3

b

（x-m）²+n或y=-

3

b

（x-m）²+n．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．