Question

如圖，當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4

3

，0）和點(diǎn)B（2

3

，2）及原點(diǎn)O時(shí)；
（1）若△ABO內(nèi)接于⊙P，求⊙P的半徑；
（2）求該拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線的對稱性可知△ABC是等腰三角形，所以內(nèi)接于⊙P的圓心P在OA的垂直平分線上，即作AB的垂直平分線角OA于D，連接OP，設(shè)⊙P的半徑為r，利用勾股定理建立關(guān)于r的方程，解方程即可求出r值；
（2）把點(diǎn)A（4

3

，0）和點(diǎn)B（2

3

，2）及原點(diǎn)O（0，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c求出a，b，c的值即可．

解答：解：（1）作AB的垂直平分線角OA于D，連接OP，設(shè)⊙P的半徑為r，
∵點(diǎn)A（4

3

，0），點(diǎn)B（2

3

，2），
∴OD=2

3

，BD=2，
∴DP=r-2，
在Rt△OPD中，DP²+OD²=OP²，
∴（r-2）²+（2

3

）²=r²，
∴r=4，
即⊙P的半徑是4；
（2）把點(diǎn)A（4

3

，0）和點(diǎn)B（2

3

，2）及原點(diǎn)O（0，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c得：

0=48a+4 3 b+c 2=12 3 a+2 3 b+c 0=c

，
解得：

a=- 1 6 b= 2 3 3 c=0

，
∴拋物線的解析式是y=-

1

6

x²+

2 3

3

x．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的有關(guān)知識，用到的知識點(diǎn)由垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．