Question

【題目】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD、CD、AC、BD交于點(diǎn)E．

（1）請找出圖中的相似三角形，并加以證明；

（2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】（1）△ABE∽△DCE，證明詳見解析；（2）2π．

【解析】

（1）容易發(fā)現(xiàn)：△ABE與△DCE中，有兩個角對應(yīng)相等，根據(jù)相似三角形的判定可得到它們相似；

（2）求⊙O的面積，關(guān)鍵是求⊙O的半徑，為此作⊙O的直徑BF，連接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的長，從而求出⊙O的面積．

解：（1）結(jié)論：△ABE∽△DCE，

證明：在△ABE和△DCE中，

∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE．

（2）作⊙O的直徑BF，連接CF，

∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°．

∴△BCF是等腰直角三角形．

∵FC＝BC＝2，

∴BF＝2．

∴OB＝．

∴S⊙O＝OB2π＝2π．