Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1，0），點B，與y軸交于點C（0，-3），作直線BC．點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，P點到x軸和直線BC的距離分別為PD、PE．

（1）求拋物線解析式；

（2）當P點運動過程中滿足PE=PD時，求此時點P的坐標；

（3）如圖2，從點B處沿著直線BC的垂線翻折PE得到FE'，當點F在拋物線上時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）點P坐標為（1，2+2）或（1，2-2）；（3）點P坐標為（1，2+）或（1，2-）．

【解析】

（1）由點A、B關于對稱軸：直線x=1對稱，得B(3，0),再根據待定系數法，即可求解；

（2）易得直線BC解析式為：y=x-3，∠OCB=45°，從而得Q(1，-2)，設P(1，t)，則PD=|t|，PQ=|t+2|，結合PQ=PD，即可求解；

（3）分兩種情況：①當點P(1，t)在點Q上方時，②當點P(1，t)在點Q下方時，分別進行求解即可．

（1）∵拋物線與x軸交于點A(-1，0)、點B，

∴點A、B關于對稱軸：直線x=1對稱，

∴=1，解得：xB=3，

∴B(3，0)

∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C(0，-3)

∴ 解得：，

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3；

（2）如圖1，記直線BC與對稱軸交點為Q，

∵B(3，0)，C(0，-3)，

∴直線BC解析式為：y=x-3，∠OCB=45°，

∴Q(1，-2)，

設P(1，t)，則PD=|t|，PQ=|t+2|

∵PE⊥BC于點E，

∴∠PEQ=90°，

∵PQ∥y軸，

∴∠PQE=∠OCB=45°，

∴Rt△PEQ中，PQ=PE

∵PE=PD，

∴PQ=PD，

∴PQ2=2PD2，

∴（t+2）2=2t2，

解得：t1=2+2，t2=2-2

∴點P坐標為(1，2+2)或(1，2-2)；

（3）①如圖2，當點P(1，t)在點Q上方時，t＞-2，

連接PF，過點E作EH⊥PQ于點H，

∵∠PQE=45°，∠PEQ=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，

∴PH=QH=EH=PQ=，

即點E向左平移個單位、向上平移個單位可得點P，

∴xE=xP+=+2，yE=yP-=-1，即E(+2，-1)，

∵從點B處沿著直線BC的垂線翻折PE得到FE'，

∴FE'⊥BC，FE'=PE，

∴FE'∥PE，

∴四邊形PEE'F是平行四邊形，

∴EE'∥PF，即EE'向左平移個單位、向上平移個單位可得PF，

∵點B為EE'中點，

∴=xB=3，yE'=-yE=1-，

∴xE'=4-，

∴xF=xE'-=3-t，yF=yE'+=2，即F(3-t，2)，

∵點F在拋物線上，

∴（3-t）2-2（3-t）-3=2，

解得：t1=2+，t2=2-，

②如圖3，當點P(1，t)在點Q下方時，t＜-2，

則翻折后點F在直線BC下方，不可能在拋物線上，

綜上所述，點P坐標為(1，2+)或(1，2-)．