Question

已知：二次函數(shù)y=x²-mx-4．
（1）求證：該函數(shù)的圖象一定與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0）、（x₂，0），且，求m的值，并求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：判斷二次函數(shù)y=x²-mx-4的圖象與x軸的交點(diǎn)情況，相當(dāng)于求方程x²-mx-4=0的判別式符號(hào)，本題就是要證明△＞0；
二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，x₂也就是方程x²-mx-4=0的兩根，可運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解題．
解答：解：（1）因?yàn)椤?m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
因而函數(shù)y=x²-mx-4的圖象一定與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以x₁+x₂=m，x₁•x₂=-4．
由得，
因此m=4．
所以二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-8）．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，以及求圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．這些性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系的變形要求掌握．